Matematica applicata al sorteggio di Europa League

[franz_kappa]

Il buon disabitato domanda: perché mai questo cervellotico meccanismo per accoppiare le sfidanti del turno di Play-off, laddove sarebbe più semplice e immediato inserire in due urne le 38 teste di serie e le 38 non teste di serie, estraendo due palline per volta per formare gli accoppiamenti?

E' da ieri sera che ci ragiono, la questione mi sta togliendo il sonno e la serenità... 

Mi starei convincendo che la ratio di questo folle meccanismo (che DEVE avere una spiegazione razionale) per sorteggiare i match del Play-off potrebbe fondarsi sulla necessità di mettere in piedi un sistema che riduca la possibilità che la 78esima per ranking possa incontrare la prima per ranking tra le sorteggiande.

Mi spiego meglio: se il sorteggio fosse tra due urne di 38 club, la più debole avrebbe 1 possibilità su 38 di incontrare la più forte. Mi domando e giro il mio interrogativo ai matematici del forum se, per la legge della probabilità, costuire un meccanismo che sorteggia il singolo club per l'inserimento in un girone da 10 o da 12 club e successivamente lo sottopone a ulteriore sorteggio per essere accoppiato a uno solo fra 5 o 6 club del suo gruppo di sorteggio non finisce per abbassare la probabilità che la più debole affronti la più forte tra le sorteggiande.

In sostanza, il tutto sarebbe motivato dalla volontà di dare qualche chance in più (tutta potenziale) ai club più deboli di affrontare delle sfide alla loro portata.

[Giglic]

f_k, la probabilità iniziale è la stessa. Il fatto che le suddivisioni siano due non cambia le cose:

io devo incontrare sei squadre: la probabilità di prenderne una è del 16,6% (1/6). Se però prima si divisono due gruppi di tre squadre la probabilità è 0,5 (1/2 di probabilità che capito nel gruppo di tre dove c'è quella li) x 0,333 (1/ di probabilità di prenderla), ossia... 1/6.

La cosa è fatta per semplificazione pura e semplice: innanzitutto, mettendo sqaudre di nazioni diverse nelle varie urne si evita il ripescaggio in caso di "derby" (che per regolamento può avvenire solo dai quarti di finale), e poi per velocizzare le operazioni.

L'urnona galattica della morte è comunque un bel dilemma....

[franz_kappa]

f_k, la probabilità iniziale è la stessa. Il fatto che le suddivisioni siano due non cambia le cose:

io devo incontrare sei squadre: la probabilità di prenderne una è del 16,6% (1/6). Se però prima si divisono due gruppi di tre squadre la probabilità è 0,5 (1/2 di probabilità che capito nel gruppo di tre dove c'è quella li) x 0,333 (1/ di probabilità di prenderla), ossia... 1/6.

Non sono del tutto convinto, giglic. Ma so che tu ne sai più di me di queste cose, quindi probabilmente sbaglio io.

Ti spiego meglio il mio ragionamento, dimmi che ne pensi.

Prendiamo due ipotesi:
- IPOTESI A: due urne da 38 squadre, una con teste di serie e una con non teste di serie. Probabilità che la più debole peschi la più forte è 1/38, ovvero il 2,63%.

- IPOTESI B: le 76 squadre da sorteggiare vengono suddivise in sette gruppi, alcuni formati da 10 club e altri formati da 12 club (in ciascuno finisce un egual numero di teste di serie e non teste di serie, ovvero 5 e 5 e 6 e 6). In questo caso la possibilità che la più debole finisca nel gruppo dove viene inserita anche la più forte è - se non erro - una su sette (1/7, ovvero il 14,29%). Ipotizziamo che ciò avvenga. All'interno del gruppo di sorteggio, sia esso da 5 o da 6, la probabilità che la più debole in assoluto finisca con la più forte in assoluto è rispettivamente 1/5 o 1/6, ovvero il 20% oppure il 16,67%.

Se non erro, alla fine la probabilità che la più debole finisca con la più forte in seguito al doppio sorteggio è 1/35 (il 2,86%) nel caso di girone di sorteggio da 10 e 1/42 (il 2,38%) nel caso di girone di sorteggio da 12.

In questa edizione dell'Europa League il sorteggio per il play-off prevede  4 gironi da 10 e 3 da 12. In 3 casi su sette (ovvero finendo nel girone di sorteggio da 12), dunque, il club più debole avrebbe maggiori probabilità (per quanto si tratti di alcune decine di centesimi di punto) di evitare il club più forte.

Sbaglio?

[disabitato]

No caro Franz.

Ipotizzando due urne da 38 cadauna, io ultima squadra del raking, non ho 1/38 di possibilità di pescare la prima del ranking.

Si dovrebbe verificare la seguente ipotesi: il sorteggio contemporaneo della prima e dell'ultima. Non te la so mettere in termini matematici, ma a naso le probabilità aumentano.

che al primo sorteggio esca l'accoppiamento della prima con l'ultima è 1/38*38 quindi 1/1444 circa lo 0,07% di possibilità.

[carpelo]

Ma scusate, usando qualsiasi algoritmo, le possibilità che la più debole NTDS (non testa di serie) incontri la più forte TDS non sono le stesse possibilità che la più debole NTDS incontri la più debole TDS?

[Giglic]

Non sono del tutto convinto, giglic. Ma so che tu ne sai più di me di queste cose, quindi probabilmente sbaglio io.

Ti spiego meglio il mio ragionamento, dimmi che ne pensi.

Prendiamo due ipotesi:
- IPOTESI A: due urne da 38 squadre, una con teste di serie e una con non teste di serie. Probabilità che la più debole peschi la più forte è 1/38, ovvero il 2,63%.

- IPOTESI B: le 76 squadre da sorteggiare vengono suddivise in sette gruppi, alcuni formati da 10 club e altri formati da 12 club (in ciascuno finisce un egual numero di teste di serie e non teste di serie, ovvero 5 e 5 e 6 e 6). In questo caso la possibilità che la più debole finisca nel gruppo dove viene inserita anche la più forte è - se non erro - una su sette (1/7, ovvero il 14,29%). Ipotizziamo che ciò avvenga. All'interno del gruppo di sorteggio, sia esso da 5 o da 6, la probabilità che la più debole in assoluto finisca con la più forte in assoluto è rispettivamente 1/5 o 1/6, ovvero il 20% oppure il 16,67%.

Se non erro, alla fine la probabilità che la più debole finisca con la più forte in seguito al doppio sorteggio è 1/35 (il 2,86%) nel caso di girone di sorteggio da 10 e 1/42 (il 2,38%) nel caso di girone di sorteggio da 12.

In questa edizione dell'Europa League il sorteggio per il play-off prevede  4 gironi da 10 e 3 da 12. In 3 casi su sette (ovvero finendo nel girone di sorteggio da 12), dunque, il club più debole avrebbe maggiori probabilità (per quanto si tratti di alcune decine di centesimi di punto) di evitare il club più forte.

Sbaglio?

L'errore sta nella parte che ti ho grassettato. La probabilità non è 1/7, in quanto alcune urne sono più popolate.

[franz_kappa]

No caro Franz.

Ipotizzando due urne da 38 cadauna, io ultima squadra del raking, non ho 1/38 di possibilità di pescare la prima del ranking.

Giusto. A bocce ferme la probabilità è 1/38, poi si abbassa se le prime due estratte non sono la più forte e la più debole in assoluto (in termini di ranking, ovvero in termini oggettivi ai fini delle categorie stabilite dall'Uefa)

La mia simulazione era basata sul momento 'zero', precedentemente all'estrazione della prima coppia di palline. E' vero che ogni evento successivo modifica la probabilità, aumentandola.

Ma - e lo dice un laurato in discipline classiche, che dunque non ne sa nulla e potrebbe sbagliare - immagino che - nell'ipotizzare due modelli di sorteggio - le probabilità che taluni eventi si possano verificare vadano calcolate fissando la situazione in una fotografia 'statica' e non tentando di immaginare lo sviluppo 'dinamico' degli eventi.

Sbaglio?

[Giglic]

Giusto. A bocce ferme la probabilità è 1/38, poi si abbassa se le prime due estratte non sono la più forte e la più debole in assoluto (in termini di ranking, ovvero in termini oggettivi ai fini delle categorie stabilite dall'Uefa)

La mia simulazione era basata sul momento 'zero', precedentemente all'estrazione della prima coppia di palline. E' vero che ogni evento successivo modifica la probabilità, aumentandola.

Ma - e lo dice un laurato in discipline classiche, che dunque non ne sa nulla e potrebbe sbagliare - immagino che - nell'ipotizzare due modelli di sorteggio - le probabilità che taluni eventi si possano verificare vadano calcolate fissando la situazione in una fotografia 'statica' e non tentando di immaginare lo sviluppo 'dinamico' degli eventi.

Sbaglio?

E' una probabilità basata su un'estrazione "a blocchi" invece che "bernoulliana". Le estrazioni possono avvenire tutte contemporaneamente o una per una, non cambia nulla.
Mentre nel caso dell'estrazione bernoulliana, DOPO OGNI ESTRAZIONE, rimetto le palline nell'urna.
Il sorteggio UEFA, così come le estrazioni del lotto sono a blocchi. Per questo si parla di 1/38...

[franz_kappa]

L'errore sta nella parte che ti ho grassettato. La probabilità non è 1/7, in quanto alcune urne sono più popolate.

Grazie delle correzioni che pazientemente stai apportando ai miei sproloqui. 

Approfitto della tua disponibilità e ti domando ancora, visto che la cosa - inspiegabilmente!  - mi sta appassionando assai più delle noiosissime discussioni sul calciomercato: se la probabilità che il club più debole per ranking finisca in uno dei sette gironi (4 dei quali da 10 e 3 dei quali da 12 squadre ciascuno) non è 1/7, a quanto ammonta?

[disabitato]

un topic fantastico!!!   

[Giglic]

E' un calcolo complesso:
Mettila così: hai 20 probabilità su 38 di finire in un'urna da 10, e 18/38 di finire in un'urna da 12.
La probabilità che stiamo nella parte "urna da 10" tutte e due è 20/38 al quadrato. Poi, devono finire nella stessa urna (1/4), e poi essere estratte (1/5). Quindi, 1/20*(20/38)^2= 20/38^2.
A questo devi aggiungere la probabilità che stiano nella parte "urna da 12", ossia 18/38^2, poi 1/3 nella stessa urna e 1/6 essere estratte, quindi
1/18*(18/38)^2 = 18/38^2

Totale: 38/38^2 = 1/38

[franz_kappa]

E' un calcolo complesso:
Mettila così: hai 20 probabilità su 38 di finire in un'urna da 10, e 18/38 di finire in un'urna da 12.
La probabilità che stiamo nella parte "urna da 10" tutte e due è 20/38 al quadrato. Poi, devono finire nella stessa urna (1/4), e poi essere estratte (1/5). Quindi, 1/20*(20/38)^2= 20/38^2.
A questo devi aggiungere la probabilità che stiano nella parte "urna da 12", ossia 18/38^2, poi 1/3 nella stessa urna e 1/6 essere estratte, quindi
1/18*(18/38)^2 = 18/38^2

Totale: 38/38^2 = 1/38

Grazie infinite per i chiarimenti.
Che, tuttavia, mi addolorano: credevo di aver intravisto, tra le pieghe del regolamento, un meccanismo finalizzato a garantire maggior inclusività, finalizzato a offrire - anche solo potenzialmente - più chance di partecipare alla fase a gironi a club di federazioni non di elevato lignaggio.

E invece no. Tu - caro Giglic - con la nitidezza delle tue inoppugnabili argomentazioni scientifiche hai tolto ogni illusione a un appassionato di calcio che era tornato per qualche ora a sognare che il meccanismo per il sorteggio del turno di Play-off della seconda competizione continentale per club fosse strutturato con l'intento di offrire qualche possibilità in più (tutta teorica) a chi parte un passo o parecchi passi indietro rispetto ai più nobili club del continente.

Non è così, purtroppo. I volenterosi maltesi (o altro club di federazione "diversamente forte"), per dire, sempre 1/38 di possibilità di incontrare il Siviglia (prima per ranking, giusto?) avranno. Indipendentemente dal meccanismo di sorteggio.

Queste sono le regole e le accetto. Ma non mi si chieda, oggi, di essere felice.

[carpelo]

Scusate se ripropongo la mia domanda, ma la possibilità che i volenterosi maltesi incontrino il Siviglia non è comunque sempre uguale a quella che incontrino la trentasettesima squadra del ranking?
Davvero, scusatemi se la domanda è sciocca, ma al momento mi sfugge 

[disabitato]

sì, è la stessa.

[franz_kappa]

Scusate se ripropongo la mia domanda, ma la possibilità che i volenterosi maltesi incontrino il Siviglia non è comunque sempre uguale a quella che incontrino la trentasettesima squadra del ranking?
Davvero, scusatemi se la domanda è sciocca, ma al momento mi sfugge 

Domanda sensata, invece.

Certo, la possibilità che prendano la 'miglior' avversaria possibile (38esima per ranking) e equiprobabile rispetto alla possibilità di pescare il Siviglia (1° assoluto per ranking).
 
Il fatto è che il mio carattere naturalmente pessimista mi ha portato a concentrarmi unicamente sul 'worst scenario', ovvero i gagliardi maltesi (o altro club "diversamente forte") che pescano il Siviglia.

[paoletto]

ma insomma alla fine non ho ancora capito 

Pisapia ha vinto o no?














eeehm ho capito, vi lascio continuare

[giamma]

Scusate ha ragione Disabitato, il calcolo esemplificato da Giglic mostra come non ci sia differenza tra mettere 38 biglie di qua e 38 di là o suddividerle in varie urne, altro ragionamento è la probabilità che la squadra più debole venga estratta contro la più forte calcolo molto complesso nel quale non mi voglio cimentare, ma esemplifico:
alla prima estrazione c'è una probabilita su 38 che venga estratta la più forte e una su 38 che venga estratta la più debole cioè una su 1444, esaurita la prima possibilità si passa alla seconda con 1/37 per 1/37  (1 su 1369) e così via fino al caso limite in cui restano nelle 2 urne solo le predette squadre , caso in cui la probabilità sarebbe del 100%. La probabilità di 1/38  si raggiunge in un punto intermedio tra le 7 (1/49) e le 6 (1/36) palline in ciascuna urna, mi pare ovvio che ci sia qualcosa di storto neil calcolo probabilistico.

[Giglic]

Scusate ha ragione Disabitato, il calcolo esemplificato da Giglic mostra come non ci sia differenza tra mettere 38 biglie di qua e 38 di là o suddividerle in varie urne, altro ragionamento è la probabilità che la squadra più debole venga estratta contro la più forte calcolo molto complesso nel quale non mi voglio cimentare, ma esemplifico:
alla prima estrazione c'è una probabilita su 38 che venga estratta la più forte e una su 38 che venga estratta la più debole cioè una su 1444, esaurita la prima possibilità si passa alla seconda con 1/37 per 1/37  (1 su 1369) e così via fino al caso limite in cui restano nelle 2 urne solo le predette squadre , caso in cui la probabilità sarebbe del 100%. La probabilità di 1/38  si raggiunge in un punto intermedio tra le 7 (1/49) e le 6 (1/36) palline in ciascuna urna, mi pare ovvio che ci sia qualcosa di storto neil calcolo probabilistico.

Giamma, non esiste una "prima" e "seconda" estrazione. Le estrazioni concettualmente, sono tutte contemporanee...

[giamma]

Giamma, non esiste una "prima" e "seconda" estrazione. Le estrazioni concettualmente, sono tutte contemporanee...

Allora quando lanci 2 dadi la tua possibilità di fare doppio 6 sarebbe 1/6, vogliamo farci una partita ?

[Giglic]

Allora quando lanci 2 dadi la tua possibilità di fare doppio 6 sarebbe 1/6, vogliamo farci una partita ?

No, è 1/36 proprio per questo...
se tu lanci due dadi, il fatto di fare 6 non "cancella" il 6 per il lancio dopo. Al contrario del lotto, dove se esce il 18, non esce sicuramente all'estrazione dopo.